ГЛАВА 1 Методологические основы построения и использования эмпирических моделей

Общие понятие об эмпирических моделях

Построение моделей является одним из самых эффективных способов теоретического и практического освоения человеком окружающего мира. В общем виде под моделью мы будем понимать отображение:

$$F:{\rm }X \to {\rm Y}$$

Здесь $X{\rm = }\left\{ {\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,\mathop x\nolimits_3 ,...,\mathop x\nolimits_n } \right\}$ , где ${\mathop x\nolimits_i }$ показатели, характерезующие состояние определенной части окружающего нас мира. При этом они могут постоянно нами наблюдаться и некоторые из них мы можем изменять по своему усмотрению, кроме того эти показатели считаются независимыми друг от друга в пределах исследуемой части мира. Принято их называть предикторами, а $X$ пространством предикторов размерности $n$. Множество показелей $ Y{\rm = }\left\{ {\mathop y\nolimits_1 ,\mathop y\nolimits_2 ,\mathop y\nolimits_3 ,...,\mathop y\nolimits_m } \right\}$ также характерезует интересующую нас часть мира, при этом, мы их можем иногда (т.е не вседа) наблюдать, но эти показатели невозможно изменять непосредственно, но мы знаем что их измение зависит от изменения предикторов. Показатели ${\mathop y\nolimits_j }$ называют откликом, а $Y$ пространством отклика размерности $m$. Для создания эмпирической математической модели необходимо, измерить как предикторы так и отклик и на их основе сформировать некоторую математическую систему, которая реализует отбражение $F$. Следует отметить, что в некоторых случах априорное(до модельное) измерение отклика невозможно и модель по сути должна производить апостериорное измерение отклика. Характер и тип этой математической системы зависит от от характера и типа предикторов и отклика и от того, как они измеряются. Если измерение осуществляется непрерывно, то формируется неприрывная математическая модель, если дискретно, то дискретная математическая модель. В дальнейшем мы будем рассматривать только дискретный модели. В дискретной математической модели мы работаем с дискретными налюдениями предикторов и отклика, измеренными либо в разных точках пространства в один момент времени, либо в разные моменты времени в одной точке пространства либо дискретизая имеет место и в пространстве и во времени. Такой способ представления информации об интересующей нас части мира приводит к следующим математически объектам: $$X{\rm = }\left( {\begin{array}{*{20}c} {\mathop x\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,1}} } & {\mathop x\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,2}} ...} & {\mathop x\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,n}} } \\ {\mathop x\nolimits_{2,1} } & {\mathop x\nolimits_{{\rm 2}{\rm ,2}}... } & {\mathop x\nolimits_{{\rm 2}{\rm ,n}} } \\ {\mathop x\nolimits_{p,1} } & {\mathop x\nolimits_{p,2}... } & {\mathop x\nolimits_{p,n} } \\ \end{array}} \right){\rm (1)}$$

В выражении (1) $X$ матрица предикторов размерности $p \times n$, где $\mathop x\nolimits_{i,j}$ $i$ наблюдение $j$ предиктора. Отклик представляет собой матрицу (2): $$ Y{\rm = }\left( {\begin{array}{*{20}c} {\mathop y\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,1}} } & {\mathop y\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,2}} ...} & {\mathop y\nolimits_{{\rm 1}{\rm ,}m} } \\ {\mathop y\nolimits_{2,1} } & {\mathop y\nolimits_{{\rm 2}{\rm ,2}}... } & {\mathop y\nolimits_{{\rm 2}{\rm ,}m} } \\ {\mathop y\nolimits_{p,1} } & {\mathop y\nolimits_{p,2}... } & {\mathop y\nolimits_{p,m} } \\ \end{array}} \right){\rm (2)}$$ Здесь $\mathop y\nolimits_{i,k}$ $i$ наблюдение $k$ отклика. При этом будем рассматривать модели, в которых каждому наблюдению предикторов соотвествует наблюдение отклика, т.е число строк в матрицах (1) и(2) одинаковое. А число столбцов матрцы(1) обычно в моделях существенно больше числа стобцов в матрице(2). Если $m>1$ , то имеем модель с мномерным откликом, а при $m=1$ модели с одномерным откликом.

В общем виде эмпирическую модель с одномерным откликом можно придставить следующим образом (3):

$$F:{\rm }\left( {\begin{array}{*{20}c} {\mathop x\nolimits_{1,1} } & {\mathop x\nolimits_{1,2} {\rm }...} & {\mathop x\nolimits_{1,n} } \\ {...} & {...} & {...} \\ {\mathop x\nolimits_{i,1} } & {\mathop x\nolimits_{i,2} {\rm }...} & {\mathop x\nolimits_{i,n} } \\ {...} & {...} & {...} \\ {\mathop x\nolimits_{p,1} } & {\mathop x\nolimits_{p,2} {\rm }...} & {\mathop x\nolimits_{p,n} } \\ \end{array}} \right){\rm } \to {\rm }\left( {\begin{array}{*{20}c} {\mathop y\nolimits_1 } \\ {...} \\ {\mathop y\nolimits_i } \\ {...} \\ {\mathop y\nolimits_p } \\ \end{array}} \right){\rm (3)}$$

Модель реализует отобржение $F$ матрицы $X$ предикторов размерности $p \times n$ в матрицу откликов $Y$, которая представляет собой матрицу столбец размерности $p \times 1$. При этом $n$ элементов каждой строки матрицы $X$ отображаются в соотвествующий элемент матрицы $Y$.То есть каждому измерению всех предикторов модель ставит в соответвие одно измерение отклика. Потенциально число возможных измерений предикторов и отклика может быть бесконечно большим,если удается найти зависимость значений отклика от значений соответсвующего множества предикторов с точностью,задаваемую точностью измерений, и инвариантную относительно количества, места и времени измерений, то такую модель называют законом, устанавливающим функциональную зависимость между предикторами и откликом и верифицируемым опытным путем (4):

$$\mathop y\nolimits_{} {\rm = }\mathop {{\rm }f}\nolimits_{} (\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,.....\mathop x\nolimits_n ,\mathop a\nolimits_1 ,\mathop a\nolimits_2 ,...\mathop a\nolimits_s ){\rm (4)}$$

В (4) $f$ функция, выражает математически зависимость отклика $y$ от предикторов $X{\rm = }\left\{ {\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,\mathop x\nolimits_3 ,...,\mathop x\nolimits_n } \right\}$ (аргументов функции). При этом вид этой функции и постоянные параметры $\mathop a\nolimits_1 ,\mathop a\nolimits_2 ,...\mathop a\nolimits_s$ обеспечиваю инвариантность этой зависимости от количество, места и времени измерений. Конечно эта инваритантность относительная она распрастраняется только на определенную часть мира, за пределами которой закон уже не действут (например законы механики и тяготения Ньютона не действуют в целом во вселенной в условиях огромных пространст, скоростей и масс тел здесь работает теория относительности и гравитации Эйнштейна).

Рассмотрение моделей как законов не является нашей задачей , поэтому в дальнейшем мы не будем обращаться к ним. Мы будем рассматривать вопросы построения и исследования эмпирических моделей, формируемых и оцениваемых на основе матемтических манипуляций (методов) с измеренными предикторами и откликом

Информационная база эмпирических моделей с одномерным откликом.

Модель можно построить и реально использовать для исследования и эффективного управления только в том случае если мы располагаем необходимой информационной базой (определенными исходными данными). Формирование информационной базы моделирования тесно связано с организацией и проведением эксперимента. Отношение между экспериментом и моделью такое же, как между курицей и яйцом: они находятся в одном цикле, и нельзя определить, что было "в самом начале". Эксперимент с некоторым объектом проводится, чтобы уточнить модель этого объекта, поэтому постановка эксперимента определяется имеющейся до опыта моделью. Результаты опыта регистрируются, фиксируются с помощью измерений, т.е отображения результатов опыта в виде символов, номеров или чисел. Современное понимание измерения существенно шире только количественного измерения, что позволяет расширить понятие измерений, по крайней мере, в четырех отношениях:

1. Есть наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры, но которые можно фиксировать в "слабых", "качественных" шкалах и эти результаты учитывать в моделях, получая качественные, но вполне научные выводы.
2. Расплывчатость некоторых наблюдений признана неотъемлемым природным свойством, которому придана строгая математическая форма, и разработан формальный аппарат "работы" с такими наблюдениями.
3. Осознано, что погрешности измерений являются не только чем-то побочным, чуждым для измерений, но и неотъемлемым, естественным и неизбежным свойством самого процесса измерения.
4. Широкое распространение получили статистические измерения, т.е. оценивание функционалов распределений вероятностей по реализации случайного процесса.

Эмпирические модели с одномерным откликом формируются на основе данных, получаемых в результате измерения соотвествующих предикторов и отклика (см. выражение 3). Априори здесь должны быть решены вопросы - "Что, как и сколько измерять ?".

Выбор отклика и набора предикторов (Что измерять ?)

Выбор отклика и способа его измерения определяется целью и возможностями исследователя. Набор предикторов выбирается исходя из гипотезы об их влиянии на отклик. Количество предикторов, которые априори исследователь хочет включить в модель, выбирается таким образом, чтобы ,с одной стороны, учесть все показатели, влияющие на отклик, а с другой учитываются ограненчение ресурсов, возможностей измерения, последующей их обработки и интерпретации. В результате исследователь здесь должен определить сущность отклика и перечень объясняющих его предикторов,что позволяет дать оценку значению $n$ -числу столбцов матрицы предикторов (см.3)

Оценка объективных свойст и отношений отклика и предикторов, выбор измерительных шкал для их адекватного отображения (Как измерять ?)

Вопрос измерения является очень важным вопросом во многом определяющим успех всей последующей работы по построению модели и оценки ее эффективности. Измерение - это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта ставит в соответствии определенное обозначение: число, номер или символ. Нужная информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований (обработки экспериментальных данных). Степень соответствия между состояниями и их обозначениями определяет допустимые (недопустимые) способы обработки данных.

Будем рассматривать такие объекты, у которых состояния и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Либо А=В, либо А≠В
2. Если А=В, то В=А
3. Если А=В и В=С, то А=C

Здесь = обозначает эквивалентность, а если А и В числа, то их равенство.

Исходя из теории измерения [ ] значения предикторов и отклика могут быть получены в различных шкалах, обладающих разными математическими свойствами.

Шкалы наименований

Предположим, что число различимых состояний (число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований. Чаще всего шкала наименований используется, когда классифицируются дискретные объекты. Для обозначения классов могут использоваться слова естественного языка, произвольные символы и т.д. Все обозначения эквивалентны простой нумерации. Самой простой номинальной шкалой является бинарная шкала, которая имеет только два значения. Например, такое свойство человека, как биологической особи, - пол, может быть измерено только в бинарной номинальной шкале, имеющей два значения: {мужчина,женщина}. Но если рассматривать человека, как общественно-социальное существо, то исходя из некоторых современных возрений, можно получить в номенальной шкале несколько измерений: {Agender,Androgyne,Bigender,Bisexual,Cisgender,Genderqueer,Pansexual,Pangender,Third gender, Transgender man, Transgender woman,Trigender,Two spirit ...}. Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывные множества. Задача сводится к предыдущей, если всё множество разбить на конечное число подмножеств, искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Тогда принадлежность состояния к какому-либо классу можно регистрировать в шкале наименований. Но при этом следует иметь в виду, что эквивалентность внутри класса условна. Рассмотрим вопрос о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. С номерами, обозначающими классы эквивалентности, нельзя обращаться как с числами, кроме операций определения их равенства и неравенства (аксиомы 1-3). Разрешенные в номинальной шкале операции можно изобразить с помощью символа Кронекера:

$$\mathop \delta \nolimits_{i,j} {\rm = }\left\{ {\mathop {\rm 1}\nolimits_{} {\rm : }\mathop x\nolimits_i = \mathop x\nolimits_j {\rm ; }\mathop {\rm 0}\nolimits_{} {\rm : }\mathop x\nolimits_i \ne \mathop x\nolimits_j } \right\}$$

где $x_i$ и $x_j$ - записи разных измерений. С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количество совпадений, вычислять относительные частоты классов и т.д. Но важно, чтобы при этом с исходными данными не выполнялось ничего, кроме операции их сравнения.

Порядковые шкалы.

Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая шкала (ранговая шкала). Этот класс шкал появляется, если в дополнение к аксиомам 1-3 тождества добавляются аксиомы упорядоченности: 4. Если А>B, то В<A. 5. Если А>B и B>C, то А>C.

Обозначив классы, удовлетворяющие аксиомам 1-5, символами, и установив между символами отношения порядка, мы получаем шкалу простого порядка. Аксиомы 4-5 можно несколько видоизменить: 4' Либо А< = B, либо A> = B. 5' Если А > = B и B > = C , то A > = C. Шкала, соответствующая аксиомам 4', 5' называется шкалой слабого порядка. Если существуют такие пары классов, которые несравнимы, то имеем шкалу частичного порядка.

Характерной особенностью порядковых шкал является то, что отношение порядка ничего не говорит о расстоянии между сравниваемыми классами. Здесь допустимы операции, позволяющие установить, какое из двух наблюдений $x_i$ или $x_j$ предпочтительнее. Введем индикатор положительных чисел - функцию: $$\mathop C\nolimits_{} {\rm (t) = }\left\{ {\mathop {\rm 1}\nolimits_{} {\rm : }\mathop t\nolimits_{} \ge \mathop 0\nolimits_{} {\rm ; }\mathop {\rm 0}\nolimits_{} {\rm : }\mathop t\nolimits_{} < \mathop 0\nolimits_{} } \right\}$$ Тогда если $x_i$ >= $x_j$ и введена цифровая шкала порядка, то имеем $\mathop C\nolimits_{} {\rm (}\mathop x\nolimits_i {\rm - }\mathop x\nolimits_j {\rm ) = }\mathop {\rm 1}\nolimits_{}$ и $ \mathop C\nolimits_{} {\rm (}\mathop x\nolimits_j {\rm - }\mathop x\nolimits_i {\rm ) = }\mathop {\rm 0}\nolimits_{}$ , что позволяет устанавливать предпочтительность $x_i$ перед $x_j$. Число $\mathop R\nolimits_i {\rm = }\sum\limits_{j = 1}^p {\mathop C\nolimits_{} } (\mathop x\nolimits_i - \mathop x\nolimits_j )$ где $p$-число сравниваемых объектов называется рангом $\mathop (\nolimits_{}^{} 1 < = \mathop R\nolimits_i < = \mathop p\nolimits_{} \mathop )\nolimits_{}$.

При измерениях в порядковых шкалах обработка данных должна основываться только на допустимых для этих шкал операциях - вычислении $\mathop \delta \nolimits_{i,j}$ и $\mathop R\nolimits_i$

С этими числами можно "работать" дальше уже произвольным образом, кроме нахождения частот и мод. Например, можно определять выборочную медиану, можно определять коэффициенты ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений (Спирмэн, Кендалл), строить с помощью полученных величин другие статистические процедуры.

Шкалы интервалов.

Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение окажется заметно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Это означает, что объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы, где бы они на ней ни располагались. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины интервала и какое значение принято за начало отсчета). В самом деле, если два интервала в одной шкале выражаются числами $\mathop \Delta \nolimits_1 \mathop x\nolimits_{}$ и $\mathop \Delta \nolimits_2 \mathop x\nolimits_{}$, а при другом выборе нуля и единицы - числами $\mathop \Delta \nolimits_1 \mathop y\nolimits_{}$ и $\mathop \Delta \nolimits_2 \mathop y\nolimits_{}$, то, поскольку это объективно те же самые интервалы,то имеем:$\mathop \Delta \nolimits_1 \mathop x\nolimits_{} \mathop {\rm /}\nolimits_{} \mathop \Delta \nolimits_2 \mathop x\nolimits_{} = \mathop \Delta \nolimits_1 \mathop y\nolimits_{} \mathop {\rm /}\nolimits_{} \mathop \Delta \nolimits_2 \mathop y\nolimits_{}$, откуда следует, что введенные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы длины, а связь между показаниями в таких шкалах является линейной: $$y = a \cdot x + b,{\rm }a > 0,{\rm - }\infty < b < \infty $$ Это соотношение можно выразить словами: -"шкала интервалов единственна с точностью до линейных преобразований". Построенные таким образом шкалы называются интервальными.

Примерами величин, которые по физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета и поэтому измеряются в интервальных шкалах, являются температура, время, высота местности. Начало летосчисления у христиан установлено от рождества Христова, а у мусульман - на 622 г. позднее - от переезда Мухаммеда в Медину; единицы летосчисления привязаны к относительным перемещениям Солнца и Луны, но в астрономии существует целых шесть разных определений года. Высоту принято отсчитывать от уровня моря, но это привело к тому, что большая часть территории Голландии имеет... отрицательную высоту, так как расположена ниже уровня моря. Название "шкала интервалов" подчеркивает, что в этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интервалами следует выполнять арифметические операции: если произвести арифметические операции над самими отсчетами по шкале, забыв об их относительности, то имеется риск получить бессмысленные результаты. Например, если сказать, что температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 до 18° по шкале Цельсия, то для тех, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опыте изменится от 37 до 42°. Подобно тому как определение значения символа Кронекера является единственной допустимой операцией над наблюдениями в номинальной шкале, а вычисление ранга наблюдения - в порядковой шкале, в интервальной шкале единственной новой допустимой операцией над наблюдениями является определение интервала между ними. Над интервалами же можно выполнять любые арифметические операции, а вместе с ними - использовать подходящие способы статистической и иной обработки данных. Например, центральные моменты (в том числе дисперсия) имеют объективный физический смысл, а начальные моменты (в том числе среднее значение) являются относительными наряду с началом отсчета. Поэтому понятие относительной погрешности (коэффициента вариации, т.е. отношения стандартного отклонения к математическому ожиданию) не имеет смысла для интервальной шкалы. Это не означает, что вообще нельзя суммировать показания в шкале интервалов, например, вычислять выборочное среднее. Однако с такой величиной нужно обращаться так же, как и с другими исходными наблюдениями, - она остается интервальной величиной и приобретает числовой смысл только в процессе определения интервалов.

Шкалы отношений

Пусть наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 4 и 5, но и аксиомам аддитивности:

1. Если А =Р и В > 0, то А+В>Р.
2. А +В = В+А.
3. Если А=Р и В= Q, то А+В=Р+Q.
4. (A+B)+С= А+(B+C).

Это существенное усиление шкалы: измерения в такой шкале являются "полноправными" числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия, так как вычитание, умножение и деление - лишь частные случаи сложения. Введенная таким образом шкала называется шкалой отношений. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из таких шкал произведены измерения: $х_1/х_2 = y_1/y_2$. Этому требованию удовлетворяет соотношение вида $у = ax$ $(a ≠ 0)$. Таким образом, величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный, абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц. Примерами величин, природа которых соответствует шкале отношений являются длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Шкалы разностей

К числу шкал, единственных с точностью до линейных преобразований, относятся шкала интервалов ($y = ax+b$, $a > 0$ и $b$ произвольны) и шкала отношений ($y=ax$, $a$ > 0 - преобразование растяжения). Рассмотрим особенности шкал, инвариантных к сдвигу: $y = x + b$. Повторно применяя сдвиг к $y$ ($z =y+b = x + 2b$), затем к z и т.д., обнаруживаем, что в такой шкале значение не изменяется при любом числе сдвигов: $y = x + nb$, $n = 0, 1, 2, .....$ Постоянная $b$ является характерным параметром шкалы и называется ее периодом. Полученную шкалу будем называть шкалой разностей (иногда ее также называют циклической или периодической) - В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.), время суток (циферблат часов), фаза колебаний (в градусах или радианах). Циклические шкалы являются частным случаем интервальных шкал. Однако соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале отсчета шкалы позволяет использовать показания в этой шкале как числа, применять к ним арифметические действия (до тех пор, пока кто-нибудь не забудет об условности нуля, например при переходе, на летнее время или обратно).

Абсолютная шкала

Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный нуль, и абсолютную единицу. Эта шкала не единственна с точностью до какого-либо преобразования, а просто единственна, уникальна. Именно такими качествами обладает числовая ось, которую естественно назвать абсолютной шкалой. Важной особенностью абсолютной шкалы по сравнению со всеми остальными является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал, - употреблять эти показания в качестве показателя степени и аргумента логарифма. Числовая ось используется как измерительная шкала в явной форме при счете предметов, а как вспомогательное средство присутствует во всех остальных шкалах. Внутренние свойства числовой оси, при всей кажущейся ее простоте, оказываются чрезвычайно разнообразными, и теория чисел до сих пор не исчерпала их до конца. А некоторые безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые в природе, вызывают восхищение и изумление (явления резонанса; гармонические отношения размеров, звуков; законы теории подобия и размерности; квантование энергии элементарных частиц и т.п.).

Ниже (рис.1) приведены основные сведения о всех рассмотренных измерительных шкалах. Можно сказать, что, чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важно иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими отношениями. Можно измерять и в шкале, более слабой, чем согласованная (это приведет к потере части полезной информации), но применять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не будут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка. Аналогичная ситуация имеет место и после того, как проведены измерения. У исследователя могут быть причины, побуждающие его преобразовать протокол наблюдений, переведя их из одной шкалы в другую. Если при этом данные переводятся в более слабую шкалу, то обычно исследователь отдает себе отчет в том, что в результате происходит некоторое ухудшение качества выводов. Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный случай - "оцифровка" качественных шкал: классам в номинальной или порядковой шкале присваиваются номера, с которыми дальше "работают" как с числами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых преобразований, то "оцифровка" - это просто перекодировка в более удобную (например, для компьютера) форму. Однако применение других операций сопряжено с заблуждениями и ошибками, так как свойства, навязываемые подобным образом, на самом деле не имеют места.

Рисунок 1 Итоговая таблица измерительных шкал

В результате здесь исследователь для отклика и каждого из предикторов определяет наболее подходящую шкалу измерения.

Оценка небходимого числа измерений (Сколько измерять?)

После того как исследователь определил что и в каких шкалах нужно измерять, он должен, исходя из целей исследования и сущности исследуемых объектов(предикторов и отклика), сформировать технологию измерения и оценить расположение и количество точек измерения в пространстве и времени, чтобы обеспечить построение адекватной эмпирической дискретной математической с однмерным откликом. Оценка частоты и количества измерений (велечина $p$ - число строк в матрицах $X$ и $Y$, см. 3) дольно сложная и плохо формализуемая задача, в идейном плане она может базироваться на вероятностно-статистическом подходе. Этот подход исходит из того что существует генеральная совокупность исследуемых объектов, которая имеет очень большую размерность или она бесконечна. Например, изучается соотношение мужчин и женщин в России, в этом случае генеральная совокупность может быть получена только после проведения полной переписи населения (146 млн.чел).Понятно, что это очень дорогостоющая процедура и она реально реализуетсяо довольно редко. В промежутках между переписями проводятся выборочные исследования, в которых количество измерений на порядки меньше. Но статистический подход дает методологию и технологии выборочных исследований, которые позволяют сформировать репрезентативную выборку, которая досточно точно отражает свойства генеральной совокупности. Следовательно, исследователь должен стараться получить минимально возможную репрезентативную выборку отклика и предикторов, которая должна позволить построить адеватную модель, обеспечивающую достижение целей исследования и допустимые затраты ресурсов.

Таким образом, после реализации процедур измерения отклика(если его можно измерить) и предикторов окзываются сформированными матрицы отклика $Y$ размерности $p \times 1$ и предикторов $X$ размерности $p \times n$ т.е будет сформирована исходная априорная (домодельная) информационная база соотвествующей дискретной эмпирической модели с одномерным откликом

Системная технология построения и исследования эмпирических моделей с одномерным откликом.

Краткое резюме по главе 1