Многоаспектный анализ стратегий развития АПК России на больших временных горизонтах на основе использования моделей теории устойчивого развития агросистемы¶
Модели трансформации капитала агросистемы¶
Изложим подходы к построению динамических моделей, позволяющих включать в в анализ наиболее важные социально экономические и экологические параметры, детерминирующие процесс трансформации факторов развития агросистем. Рассмотрим основные соотношения и зависимости, лежащие в основе подобных моделей
Трансформация во времени основного капитала.¶
Движение основного капитала в дискретном времени может быть представлено уравнением:
$$ \mathop F\nolimits_{t + 1} = (\mathop 1\nolimits_{} - \mathop r\nolimits_t ) \cdot \mathop F\nolimits_t + \Delta \cdot \mathop F\nolimits_t - \Delta \mathop F\nolimits_t^c \;\;\;\;(1)$$где ${r_t <1}$ - коэффициент выбытия фондов; $ \Delta F_t$ - прирост фондов за счет инвестиций; $ \Delta F_t^c$ - катострофические потери фондов.
Тогда коэффициент трансформации (индекс развития основного капита-ла) может быть представлен следующим образом:
$$ \mathop k\nolimits_{t + 1}^F = \frac{{\mathop F\nolimits_{t + 1} }}{{\mathop F\nolimits_t }} = (\mathop 1\nolimits_{} - \mathop r\nolimits_t ) + \frac{{\Delta \mathop F\nolimits_t }}{{\mathop F\nolimits_t }} - \frac{{\Delta \mathop F\nolimits_t^c }}{{\mathop F\nolimits_t }} \;\;\;\;(2)$$где
$
\Delta \mathop F\nolimits_t = \mathop I\nolimits_t^F = \mathop I\nolimits_t^{FPR} + \mathop I\nolimits_t^{FZ}$ ; $I_t^F$ - инвестиции в основной капитал; $I_t^{FPR}$ -
инвестиции в основной капитал за счет собственной прибыли;$I_t^{Z}$ -- инвестиции в основной капитал за счет дополнительных источников (заем-ные средства);
$\Delta \mathop F\nolimits_t^c = \mathop \theta \nolimits_t^{cF} {\rm (}\mathop {\rm 0}\nolimits_{} \le \mathop \theta \nolimits_t^{cF} \le \mathop {1)}\nolimits_{}$ , коэффициент катастрофических потерь фондов.
Или имеем:
$$\mathop k\nolimits_{t + 1}^F = \mathop \mu \nolimits_t^F + \mathop \rho \nolimits_t^{IF} \cdot \mathop I\nolimits_t - \mathop \theta \nolimits_t^{cF}
\;\;\;\;(3)$$
где $\mathop \mu \nolimits_t^F = \mathop \lambda \nolimits_t^{KS} \cdot (\mathop 1\nolimits_{} - \mathop r\nolimits_t )$ - коэффициент (индекс), характеризующий остаточный уровень развития фондов; $\mathop \rho \nolimits_t^{IF} = \frac{{\mathop \pi \nolimits_t^{Know} }}{{\mathop F\nolimits_t }}$ коэффициент трансформации инвестиций в основной капитал. Здесь $\mathop \lambda \nolimits_t^{KS} > 0$ -коэффициент, характеризующий качество и структуру остаточных фондов. Если этот коэффициент меньше единицы, то фонды не соответствуют на данный момент времени общественно необходимому уровню по качеству и структуре (средний уровень по группе экономически развитых стран). При значении этого коэффициента больше единицы они превосходят по структу-ре и качеству общественно необходимый уровень развития фондов.
Коэффициент $\mathop \pi \nolimits_t^{Know}$ характеризует уровень инновационности использования инвестиций для формирования основного капитала. При $0 < \mathop \pi \nolimits_t^{Know} < 1$ инвестиции используются ниже общественно необходимого уровня (средний уровень по группе экономически развитых стран), а при $\mathop \pi \nolimits_t^{Know} > 1$ выше. Данный коэффициент в концентрированном виде выражает качество развития основного капитала агросистемы.
Типы развития основного капитала можно проиллюстрировать следу-ющим образом (рис. 1):
Рис. 1 Таким образом, возможность развития основного капитала (производственных фондов) агросистемы определяется рядом факторов: возрастом и изношенностью фондов (коэффициент $r_t$),качеством и структурой ( коэффициент $\lambda_t^{KS}$),общей массой фондов ($F_t$),объёмом инвестиций в основной капитал ($I_t^F$) и уровнем инновационности использования инвестиций ( коэффициент $\pi_t^{K_now}$ ) и возникновением катастрофических событий ($\theta_t^{CF}$).Основное дискретное динамическое соотношение: $$\mathop F\nolimits_{t + 1} = \mathop k\nolimits_{t + 1}^F \mathop F\nolimits_t \;\;\;\;(4)$$
Перейдем от дискретного к не прерывному времени. Вычитая из обеих частей уравнения (4) $F_t$ получим следующее уравнение:
$$\mathop F\nolimits_{t + 1} - \mathop F\nolimits_t = \Delta \mathop {\mathop F\nolimits_t = (k}\nolimits_{t + 1}^F - \mathop 1\nolimits_{}^{} ) \cdot \mathop F\nolimits_t \;\;\;\;(5)$$$$\Delta \mathop F\nolimits_t = \mathop {\tilde k}\nolimits_{t + 1}^F \mathop { \cdot F}\nolimits_t \;\;\;\;(6)$$Переходя к бесконечно малым приращениям, получаем следующее дифференциальное уравнение:
$$\frac{{dF}}{{dt}} = \mathop {\tilde k}\nolimits^F (t) \cdot F(t) = F(t) \cdot (\mathop \mu \nolimits^F (t) - \mathop \theta \nolimits^{cF} (t) - 1) + \mathop \pi \nolimits^{Know} (t) \cdot \mathop I\nolimits^F (t) \;\;\;\;(7)$$
$$\frac{{dF}}{{dt}} = F(t) \cdot (\mathop \lambda \nolimits^{KS} (t) \cdot (1 - r(t)) - \mathop \theta \nolimits^{cF} (t) - 1) + \mathop \pi \nolimits^{Know} (t) \cdot \mathop I\nolimits^F (t) \;\;\;\;(8)$$
Если в уравнении (4) обе части разделить на $H_t$ и учитывая, что $H_(t+1)=H_t(1+\omega_t)$ , где $\omega_t$- естественный прирост населения, то получим удельное уравнение на душу населения:
$$\frac{{\mathop F\nolimits_{t + 1} }}{{\mathop H\nolimits_t }} = \mathop k\nolimits_{t + 1}^F \cdot \frac{{\mathop F\nolimits_t }}{{\mathop H\nolimits_t }} \to \mathop f\nolimits_{t + 1} = \frac{{\mathop k\nolimits_{t + 1}^F }}{{(1 + \mathop \omega \nolimits_t )}} \cdot \mathop f\nolimits_t$$
где $f_{t+1}$ и $f_{t}$ основной капитал на душу населения соответственно в t+1 и t периоды времени. Тогда $\Delta \mathop f\nolimits_t = (\frac{{\mathop k\nolimits_{t + 1}^F }}{{(1 + \mathop \omega \nolimits_t )}} - 1) \cdot \mathop f\nolimits_t$ и переходя к малым приращениям, получаем удельное дифференциальное уравнение:
$$\frac{{df}}{{dt}} = \frac{{\mathop (\nolimits_{}^{} f(t) \cdot (\mathop \lambda \nolimits^{KS} (t) \cdot (1 - r(t) - \mathop \theta \nolimits^{CF} (t)) + \mathop \pi \nolimits^{Know} (t) \cdot \mathop I\nolimits^f (t)\mathop )\nolimits_{}^{} }}{{(1 + \omega (t))}} \;\;\;\;\;(9)$$
Где $\mathop I\nolimits^f (t) = \frac{{\mathop I\nolimits^F (t)}}{{H(t)}}$ -инвестиции в основной капитал на душу населения в период t.
Найдем экономически целесообразные временные законы изменения па-раметров, входящих в правую часть дифференциального уравнения (7) при которых решение этого уравнения представляет положительную возрастающую функцию времени. Предположим, что изменение основных параметров в правой части описывается S-образными функциями времени на интервале [0,20], а $θ^{CF} (t)=0$. Пусть имеем:
$$\mathop \lambda \nolimits^{KS} (t) = \frac{{1.6 \cdot 0.5 \cdot \mathop e\nolimits^{0.3 \cdot t} }}{{1.6 + 0.5 \cdot (\mathop e\nolimits^{0.3 \cdot t} - 1)}} \;\;\;\;(10)$$
Изменение качества и структуры остаточных фондов аграрного производства описывается логистической функцией (см. ниже). В момент времени t=0 $\lambda^{KS} (t)=0,5$. то есть их уровень составляет 50 процентов от общественно необходимого уровня. При $t \to \infty {\rm }\mathop \lambda \nolimits^{KS} (t) \to 1.6$ , то есть на 60 процентов выше общественно необходимого уровня.
